已知f(x)=12x2+4lnx-5x，f′（x）是f（x）的导数．（Ⅰ）求y=f（x）的极值；（Ⅱ）求f′（x）与f（x）单调性相同的区间．
问题描述：
已知f(x)=
x2+4lnx-5x，f′（x）是f（x）的导数．1 2
（Ⅰ）求y=f（x）的极值；
（Ⅱ）求f′（x）与f（x）单调性相同的区间．
答
⊙⊙
∴f（x）的极大值f(x)极大=f(1)=-
，f（x）的极小值f（x）极小=f（4）=8ln2-12．…6分
（Ⅱ）设g(x)=x+
-5(x＞0)，∴g′(x)=
，
由g'（x）＞0得，x＞2，g（x）为增函数，由g'（x）＜0得，0＜x＜2，g（x）为减函数．
再结合（Ⅰ）可知：f'（x）与f（x）的相同减区间为[1，2]，相同的增区间是[4，+∞）…12分．
答案解析：（I）由导数运算法则知，f′(x)=x+
-5=
，再利用导数与单调性关系求出极值即可；
（Ⅱ）求出函数f′（x）的导函数，在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间．
再结合（I）即可得到f′（x）与f（x）单调性相同的区间．
考试点：A:利用导数研究函数的极值 B:利用导数研究函数的单调性
知识点：本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值问题．求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间．
（Ⅰ）∵f(x)=
x2+4lnx-5x，∴f′(x)=x+1 2
-5=4 x
（x＞0），(x-1)(x-4) x
由f'（x）＞0得，0＜x＜1或x＞4，由f'（x）＜0得，1＜x＜4．当x变化时，f'（x）、f（x）变化情况如下表：
⊙
| x | ⊙（0，1） | ⊙1 | ⊙（1，4） | ⊙4 | ⊙（4，+∞） |
| f'（x） | ⊙+ | ⊙0 | ⊙- | ⊙0 | ⊙+ |
| f（x） | ⊙↗ | ⊙极大值 | ⊙↘ | ⊙极小值 | ⊙↗ |
| 9 |
| 2 |
（Ⅱ）设g(x)=x+
| 4 |
| x |
| (x+2)(x-2) |
| x |
由g'（x）＞0得，x＞2，g（x）为增函数，由g'（x）＜0得，0＜x＜2，g（x）为减函数．
再结合（Ⅰ）可知：f'（x）与f（x）的相同减区间为[1，2]，相同的增区间是[4，+∞）…12分．
答案解析：（I）由导数运算法则知，f′(x)=x+
| 4 |
| x |
| (x-1)(x-4) |
| x |
（Ⅱ）求出函数f′（x）的导函数，在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间．
再结合（I）即可得到f′（x）与f（x）单调性相同的区间．
考试点：A:利用导数研究函数的极值 B:利用导数研究函数的单调性
知识点：本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值问题．求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间．