导数在研究函数中的应用已知实数a,b,满足b>a>e,其中e为自然对数的底数,求证:a的b次方>b的a次方.
问题描述:
导数在研究函数中的应用
已知实数a,b,满足b>a>e,其中e为自然对数的底数,求证:a的b次方>b的a次方.
答
Ln[(a的b次方)除以(b的a次方)]=Ln[(a的b次方)-Ln(b的a次方)=b*Ln(a)-a*Ln(b)>b*Ln(a)-a*Ln(a)>0;所以,Ln[(a的b次方)除以(b的a次方)]>Ln1;所以[(a的b次方)除以(b的a次方)]>1
所以,a的b次方>b的a次方.
答
分析法
〉bLna>aLnb
〉Lna/a>Lnb/b
〉f(x)=Lnx/x在(e,+∞)为减函数
〉(1-Lnx)/x²e
得证