如何定义自然数的乘法?

自然数乘法就是：a*b表示b个a相加。

非常困难，对于通常乘法运算，在认可欧几里得的理论基础之上，定义乘法为通常乘法，在自然数域上不成立。证明如下
论域定义：集合A为全体自然数，数域B为自然数。
运算定义：加法f(a,b)=a+b，其中a、b为集合A中的元素，“+”为通常加法。
数乘g(k,a)=k*a，其中a为集合A中的元素，k为数域B中的数，“*”为通常乘法，即k 个a相加。
零元定义：定义自然数0为“0”元素，符号为O。
一元定义：定义自然数1为“1”元素，符号为I。
对于自然数域加法运算：f(a,b)=f(b,a),f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)) ,对于通常加法运算a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)显然成立。对于O=0，a+O=a成立。但是，对于A中任意一个不为0的元素a，找不到一个负元a'，使得a+a'=O成立。因此，自然数域加法不成立。
对于自然数域乘法运算：虽然满足I=1对于任意A中元素a有I*a=a。且满足对于任意B中的数kl，有(k*l)*a=k*(l*a)。但是由于加法运算不成立（不封闭），因此(k+l)*a=k*a+l*a不成立，且k*(a+b)=k*a+k*b不成立。
因此，自然数域下定义“加法”为通常加法不成立，定义“乘法”为通常乘法也不成立。
但是若定义f(a,b)在a=b时等于0，a≠b时为a+b，则自然数域下加法成立，定义乘法g(k,a)等于k个a相加，则也成立，但是任意数的乘法均得0。
有一条经验是：如果定义一个加法成立，则乘法有可能成立，反之，定义一个加法不成立，则乘法往往也不成立。

求几个相同加数的和的简便运算就是乘法