一道高等数学微分题已知y=f(x)在x=2附近一阶导数存在,且f’(x)=(f(x))^2,f(2)=1,则当x=2时,f(x)的十阶导数为.
问题描述：
一道高等数学微分题
已知y=f(x)在x=2附近一阶导数存在,且f’(x)=(f(x))^2,f(2)=1,则当x=2时,f(x)的十阶导数为.
答
f’(x)=(f(x))^2
df(x)/(f(x))^2=dx
两边积分得
-1/f(x)=x+C
把f(2)=1代入得
-1=2+C
C=-3
-1/f(x)=x-3
f(x)=-1/(x-3)
f(x)的十阶导数=-10!/(x-3)^10=-10!
x=2
答
y'=y^2
dy/y^2=dx
-1/y=x+C
∵f(2)=1 ∴C=-3
y=(3-x)^(-1)
y'=(3-x)^(-2)
y''=2!(3-x)^(-3)
y'''=3!(3-x)^(-4)
……
y^(10)=10!(3-x)^(-11)=10!/(3-x)^11