在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，设函数f（x）=k（x-2）+3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，给出下列四个命题：①存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有一条；②存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有两条；③存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有三条；④存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有四条.其中所有真命题的序号是（ ）A. ①②③B. ③④C. ②④D. ②③④
问题描述：
在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，设函数f（x）=k（x-2）+3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，给出下列四个命题：
①存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有一条；
②存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有两条；
③存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有三条；
④存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有四条.
其中所有真命题的序号是（ ）
A. ①②③
B. ③④
C. ②④
D. ②③④
答
∵直线y=k（x-2）+3与x轴，y轴交点的坐标分别是，A（2-3k，0），B（0，3-2k）．S△=12×|2-3k|×|3-2k|=12×(2k-3)2|k|．当k>0时，S△=12×4k2-12k+9k=12×（4k+9k-12），∵4k+9k≥24×9=12，当且仅当k=32时取等...
答案解析：根据直线方程求出直线在两坐标轴上的截距，再构造以斜率k为自变量，S△是变量k的函数，利用均值不等式求函数最小值方法，分k＞0和k＜0两种情况讨论存在直线的条件，再分析求解．
考试点：命题的真假判断与应用；基本不等式在最值问题中的应用．
知识点：本题借助考查命题的真假判定，考查直线与坐标轴围成的△的面积问题．S△的面积可根据直线在坐标轴上的截距求得．在本题中根据斜率k取值的个数来确定直线存在的条数，这是解决此类题的常用方法．