在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,设函数f(x)=k(x-2)+3的图象为直线l,且l与x轴、y轴分别交于A、B两点,给出下列四个命题:①存在正实数m,使△AOB的面积为m的直线l仅有一条;②存在正实数m,使△AOB的面积为m的直线l仅有两条;③存在正实数m,使△AOB的面积为m的直线l仅有三条;④存在正实数m,使△AOB的面积为m的直线l仅有四条.其中所有真命题的序号是(  )A. ①②③B. ③④C. ②④D. ②③④

问题描述:

在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,设函数f(x)=k(x-2)+3的图象为直线l,且l与x轴、y轴分别交于A、B两点,给出下列四个命题:
①存在正实数m,使△AOB的面积为m的直线l仅有一条;
②存在正实数m,使△AOB的面积为m的直线l仅有两条;
③存在正实数m,使△AOB的面积为m的直线l仅有三条;
④存在正实数m,使△AOB的面积为m的直线l仅有四条.
其中所有真命题的序号是(  )
A. ①②③
B. ③④
C. ②④
D. ②③④

∵直线y=k(x-2)+3与x轴,y轴交点的坐标分别是,A(2-

3
k
,0),B(0,3-2k).
S=
1
2
×|2-
3
k
|×|3-2k|=
1
2
×
(2k-3)2
|k|

当k>0时,S=
1
2
×
4k2-12k+9
k
=
1
2
×(4k+
9
k
-12),
∵4k+
9
k
≥2
4×9
=12,当且仅当k=
3
2
时取等号.
∴当S=m>0时,在k>0时,k有两值;
当k<0时,S=
1
2
×
(2k-3)2
|k|
=
1
2
×
4k2-12k+9
-k
=
1
2
×[(-4k+
9
-k
)+12],
∵-4k+
9
-k
≥2
4×9
=12.当且仅当k=-
3
2
时取等号.
当m>12时,在k<0时,k有两值.;
∴当 m=0时,仅有一条直线使△AOB的面积为m,∴①不正确;
当0<m<12时,仅有两条直线使△AOB的面积为m,∴②正确;
当m=12时,仅有三条直线使△AOB的面积为m,∴③正确;
当m>12时,仅有四条直线使△AOB的面积为m,∴④正确.
故选D
答案解析:根据直线方程求出直线在两坐标轴上的截距,再构造以斜率k为自变量,S是变量k的函数,利用均值不等式求函数最小值方法,分k>0和k<0两种情况讨论存在直线的条件,再分析求解.
考试点:命题的真假判断与应用;基本不等式在最值问题中的应用.
知识点:本题借助考查命题的真假判定,考查直线与坐标轴围成的△的面积问题.S的面积可根据直线在坐标轴上的截距求得.在本题中根据斜率k取值的个数来确定直线存在的条数,这是解决此类题的常用方法.