已知函数f（x）=2x-x2，x∈[4，5]，对于f（x）值域内的所有实数m，满足不等式t2+mt+4＞2m+4t恒成立t的集合是（ ）A. （-∞，-5）B. （-∞，-2）∪（5，+∞）C. （-∞，-5）∪（2，+∞）D. （-∞，-5）∪（-2，+∞）
问题描述：
已知函数f（x）=2x-x2，x∈[4，5]，对于f（x）值域内的所有实数m，满足不等式t2+mt+4＞2m+4t恒成立t的集合是（ ）
A. （-∞，-5）
B. （-∞，-2）∪（5，+∞）
C. （-∞，-5）∪（2，+∞）
D. （-∞，-5）∪（-2，+∞）
答
f′（x）=2xln2-2x，[f′（x）]′=2xln22-2，
因为ln2＞ln
=
e
，所以当x≥4时，[f′（x）]′=2xln22-2≥24ln22-2＞0，1 2
故f′（x）在[4，5]上递增，且f′（x）≥f′（4）=24ln2-2×4＞0，
所以f（x）在[4，5]上递增，所以f（x）min=f（4）=0，f（x）max=f（5）=7，即m∈[0，7]．
t2+mt+4＞2m+4t恒成立即（t-2）m+t2-4t+4＞0对任意m∈[0，7]恒成立，令g（m）=（t-2）m+t2-4t+4，
则有
，即
g(0)＞0 g(7)＞0
，解得t＜-5，或t＞2，
t2−4t+4＞0 (t−2)•7+t2−4t+4＞0
故选C．
答案解析：先利用导数判断函数f（x）的单调性，由单调性可求得f（x）在[4，5]上的值域[0，7]，t2+mt+4＞2m+4t恒成立即（t-2）m+t2-4t+4＞0对任意m∈[0，7]恒成立，令g（m）=（t-2）m+t2-4t+4，则有g(0)＞0g(7)＞0，解出即可．
考试点：二次函数在闭区间上的最值；函数恒成立问题．
知识点：本题考查利用导数求函数在闭区间上的值域及函数恒成立问题，函数恒成立问题往往转化为函数最值解决，或数形结合利用函数图象处理．