等轴双曲线的中心在原点,焦点在X轴上,直线Y=1/2X截双曲线所得弦长为2倍根号3求此等轴双曲线的方程?练习册的答案是x^2-y^2=9.照这个方程在几何画板里画出图形后，度量了弦长，不是2根号3.
问题描述：
等轴双曲线的中心在原点,焦点在X轴上,直线Y=1/2X截双曲线所得弦长为2倍根号3求此等轴双曲线的方程?
练习册的答案是x^2-y^2=9.照这个方程在几何画板里画出图形后，度量了弦长，不是2根号3.
答
你说的的确有问题，如果按照你的答案来做，长度就应该是2√15，设双曲线方程为x^2-y^2=a^2直线与双曲线两交点为(x1,y1),(x2,y2)将y=(1/2)x代入上式有3x^2-4a^2=0由韦达定理有x1+x2=0 x1x2=-(4/3)a^2则y1+y2=(1/2)(x1+x2)=0y1y2=(1/4)x1x2=(-1/3)a^2由两点间距离公式有√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=√[(x1+x2)^2-4x1x2+(y1+y2)^2-4y1y2]=√[-4*(-4/3)a^2-4(-1/3)a^2]=√[(20/3)a^2]∴√[(20/3)a^2]=解得a^2=9故双曲线方程为x^2-y^2=9
答
设 此双曲线为 x^2-y^2=a^2
设两交点（x1,y1）,（x2,y2）
y1=x1 /2,y2=x2/2
x^2-x^2/4=a^2
x1=2a/√3,y1=a/√3
x2=-2a/√3,y2=-a/√3
弦长为2倍根号
(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=( 2√3)^2
(4a/√3)^2+ (2a/√3)^2=4*3=12
a^2=9/5
x^2-y^2=9/5