设n是正整数,证明8^(2n+1)+7^(n+2)是57的倍数RT
问题描述：
设n是正整数,证明8^(2n+1)+7^(n+2)是57的倍数
RT
答
57 = 3*19
3,8,7,19互素数
1) 8^(2n+1)+7^(n+2) = 3的倍数, 2) 8^(2n+1)+7^(n+2)= 19 的倍数
1) => 8^(2n+1)= - 7^(n+2) mod 3
=> (-1)(2n+1) = - 1^(n+2), 注意 8 = -1 mod 3,
n是正整数时, 恒等式
2) 8^(2n+1)= - 7^(n+2) mod 19
64^n * 8 = - 7^n* 49, 注意64 = 7 mod 19, 49= 11 mod 19
7^n*8 = 7^n *(-11) mod 19
n是正整数时, 恒等式
答
首先假设n=0,代人式子可得57=57,此式是成立的.假设n=n的时候上式成立,则有8^(2n+1)+7^(n+2)=57A（其中A为正整数）只要能证明n=n+1时式子仍能成立,即上式就是57的倍数.把n=n+1代人上式,8^(2n+3)+7^(n+3)=64*8^(2n+1)+...