怎样证明从三角形重心连接三个顶点组成的三个三角形面积相等

设△ABC,重心为G
连接AG，并延长交BC于F,
过B,C做AG垂线，垂足为M,N
BM//CN,故△BMF∽△FCN，又BF=CF,故△BMF≌△CNF故BM=CN
所以SABG=AG*BM/2=AG*CN/2=SAGC
同理，SAGC=SBCG，即SABG=SAGC=SBCG。

设G是△ABC的重心，连AG并延长交BC于D，显然有：BD＝CD［△的重心是其中线的交点］。
△GAD的面积＝△GCD的面积，△ABD的面积＝△ACD的面积，得：
△ABD的面积－△GAD的面积＝△ACD的面积－△GCD的面积。
而△GAB的面积＝△ABD的面积－△GAD的面积，
　△GAC的面积＝△ACD的面积－△GCD的面积。
于是：△GAB的面积＝△GAC的面积。同理有：△GAC的面积＝△GBC的面积。
即：△GAB的面积＝△GAC的面积＝△GBC的面积。

如图：O是重心,
首先要说明的一点是,1、三角形的面积=边和边到顶点距离乘积的1/2
2、重点是三角形各边中线的交点
3、由于O点是三角形1和2的共同顶点,所以O点到AB间的高应该是三角形1和2的AF和BF上的高,即同顶点上三角形底边上的高是相同的
证明：由于AF=BF,所以S1=S2（底边上的高相同）,S1+S4+S5=S2+S3+S6；因而得S3+S6=S4+S5
又因AE=EC,所以S4=S5,同样可得S1+S2=S3+S6
故：S1+S2=S3+S6=S4+S5