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已知两个正实数x，y满足x+y=4，则使不等式1x+4y≥m恒成立的实数m的取值范围是（　　）A. [94，+∞)B. [2，+∞）C. （-∞，2]D. （-∞，94]

分类: 作业答案 • 2021-12-19 16:37:40
问题描述：

已知两个正实数x，y满足x+y=4，则使不等式

1
x
+
4
y
≥m恒成立的实数m的取值范围是（　　）
A. [
9
4
，+∞)
B. [2，+∞）
C. （-∞，2]
D. （-∞，
9
4
]

答

∵不等式

1
x
+
4
y
≥m对两个正实数x，y恒成立，即（
1
x
+
4
y
）min≥m，
∵x+y=4，即
x
4
+
y
4
＝1，
又∵x＞0，y＞0，
∴
1
x
+
4
y
=（
1
x
+
4
y
）（
x
4
+
y
4
）=
y
4x
+
x
y
+
5
4
≥2
y
4x
•
x
y
+
5
4
=1+
5
4
=
9
4
，
当且仅当
y
4x
=
x
y
，即x=
4
3
，y=
8
3
时取“=”，
∴（
1
x
+
4
y
）min=
9
4
，
∴m≤
9
4
，
∴实数m的取值范围是（-∞，
9
4
]．
故选：D．
答案解析：将不等式恒成问题转化为求
1
x
+
4
y
的最小值，利用“1”的代换的思想和基本不等式，即可求得
1
x
+
4
y
的最小值，从而求得实数m的取值范围．
考试点：基本不等式在最值问题中的应用．
知识点：本题考查了基本不等式在最值问题中的应用．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．涉及了不等式恒成立问题，对于不等式恒成立问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．属于中档题．

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