△ABC是直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,∠MAN=45°M、N在BC上,求证,MN²=BM²+CN²
问题描述：
△ABC是直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,∠MAN=45°M、N在BC上,求证,MN²=BM²+CN²
答
点 M 应在 B 附近,点 N 应在 C 附近,BM^2 + CN^2 = MN^2 才可能成立.
证明：用“翻折法”.
沿着 AM 将 △ABM 翻折,AB 的位置变为 AE,B 的位置变为 E,则
△ABM≌△AEM；∠BAM =∠EAM ,∠MEA = 45度,EM = BM；--------------(1)
再沿着 AN 将 △ACN 翻折,AC 的位置变为 AF,C 的位置变为 E',则
△ACN≌△AE'N；∠CAN =∠E'AN ,∠NE'A = 45度,E'N = CN；----------(2)
因为∠MAN = 45度,故 ∠BAM + ∠CAN = 45度,即有∠EAM + ∠E'AN = 45度,所以 E、E' 重合(于 E 点)!于是∠MEN = ∠MEA +∠NEA = 90度,再由勾股定理及(1)(2)的结论得EM^2 + EN^2 = MN^2,即有 BM^2 + CN^2 = MN^2.
注：用到(2)的结论时,E' 换成 E.