已知三角形ABC的顶点A(0,4),B(0,-4),且4(sinB-sinA)=3sinC,则顶点C的轨迹方程

根据正弦定理，sinB/sinC=b/c,sinA/sinC=a/c,sinB/sinC-sinA/sinC=3/4,
b/c-a/c=3/4,c=|3(b-a)/4|,|c|=4-(-4)=8,c是小写表示|AB|，设C点坐标为（x,y)
b=AC,a=BC,b=√[x^2+（y+4）^2],a=BC=√[x^2+（y-4）^2],
8*3/4=√[x^2+（y+4）^2]-√[x^2+（y-4）^2]
y^2/9-x^2/7=1
C的轨迹方程是一个实轴在Y轴的双曲线方程。

显然有：AB＝8.
∵4（sinB－sinA）＝3sinC,∴结合正弦定理,容易得到：4（AC－BC）＝3AB＝24,
∴AC－BC＝6.
∴由双曲线定义,得：
点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的上支（除双曲线与AB的交点外）.
∵AB＝8,∴2c＝8,∴c＝4.
∵AC－BC＝6,∴2a＝6,∴a＝3.
∴b^2＝c^2－a^2＝16－9＝7.
∴点C的轨迹方程是：y^2/3－x^2/7＝1.
令y^2/3－x^2/7＝1中的x＝0,得：y^2/3＝1,∴y＝√3/3.
∴双曲线的上支与AB的交点坐标是（0,√3/3）.
∴满足条件的点C的轨迹方程是：y^2/3－x^2/7＝1,其中y＞√3/3.