已知点G是△ABC的重心,向量AG=λ向量AB+μ向量AC(λ,μ∈R),若∠A=120度,向量AB·向量AC=﹣2,则向量AG的模最小值是
问题描述：
已知点G是△ABC的重心,向量AG=λ向量AB+μ向量AC(λ,μ∈R),若∠A=120度,向量AB·向量AC=﹣2,则向量AG的模
最小值是
答
向量AG=λ向量AB+μ向量AC
G是△ABC的重心,所以λ=μ=1/3
向量AG的模^2=向量AG*向量AG=(1/3向量AB+1/3向量AC)*(1/3向量AB+1/3向量AC)
=1/9(向量AG的模^2+向量AB·向量AC+向量AG的模^2)
=1/9(向量AG的模^2+向量AG的模^2-4)
>=1/9(2向量AG的模*向量AG的模-4)
=1/9(2*4-4)=4/9
向量AG的模=2/3
答
向量AG=2AD/3=AB/3+AC/3(AD为中线）
┃AB┃┃AC┃cos120=-2,┃AB┃┃AC┃=4
AG^2=（AB^2+AC^2+2AB*AC)/9=(AB^2+AC^2-4)/9≥(2┃AB┃┃AC┃-4)/9=4/9
AG最小值为2/3