已知x=n+1−nn+1+n,y=n+1+nn+1−n,且19x2+123xy+19y2=1985.试求正整数n.

问题描述:

已知x=

n+1
n
n+1
+
n
,y=
n+1
+
n
n+1
n
,且19x2+123xy+19y2=1985.试求正整数n.

化简x与y得:x=(

n+1
n
)2,y=(
n+1
+
n
)2

∴x+y=4n+2,xy=1,
∴将xy=1代入方程,化简得:x2+y2=98,
∴(x+y)2=100,
∴x+y=10.
∴4n+2=10,
解得n=2.
答案解析:首先化简x与y,可得:x=(
n+1
n
2=2n+1-2
n(n+1)
,y=2n+1+2
n(n+1)
,所以x+y=4n+2,xy=1;将所得结果看作整体代入方程,化简即可求得.
考试点:二次根式的混合运算.
知识点:此题考查了二次根式的分母有理化.解题的关键是整体代入思想的应用.