已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且此焦点和x轴上的较近端点的距离为4（2-1），求椭圆方程．
问题描述：
已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且此焦点和x轴上的较近端点的距离为4（
-1），求椭圆方程．
2
答
∵椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，
∴设椭圆的方程为
+x2 a2
＝1（a＞b＞0），y2 b2
设短轴的两个端点分别为A、B，左右焦点分别为F1、F2，连结AF2、BF2．
∵一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，
∴AF2⊥BF2，
根据椭圆的对称性得到△ABF2是等腰直角三角形，可得|OA|=|0F2|．
∴b=c，即
=c…①，
a2−c2
又∵焦点和x轴上的较近端点的距离为4（
-1），
2
∴a-c=4（
-1）…②，
2
联解①②可得a=4
，c=4，可得a2=32，b2=c2=16
2
所求椭圆的方程为
+x2 32
＝1．y2 16
答案解析：设椭圆的方程为
+x2 a2
＝1（a＞b＞0），根据题意利用椭圆的对称性得到b=y2 b2
=c且a-c=4（
a2−c2
-1），两式联解得到a、c之值，进而算出a2=32、b2=16，可得椭圆的方程．
2
考试点：椭圆的标准方程．
知识点：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的标准方程．考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．