问一道高中三角函数数学题求sin10°sin50°sin70°的值

sin10°sin50°sin70°=coc80cos40cos20=(sin20coc20cos40cos80)/sin20=
(1/2*sin40cos40cos80)/sin20=(1/4*sin80cos80)/sin20=(1/8*sin160)/sin160=1/8

学生计算机都有...

分子 分母 同时乘以 cos10°
sin10°×sin50°×sin70°
= sin10°×sin50°×sin70°× cos10°/cos10°
= sin10°× cos10°×sin50°×sin70°/cos10°
= (1/2) × sin20°× sin50°× sin70°/cos10°
= (1/2) × sin20°× sin50°× cos20°/cos10°
= (1/4) × sin40°× sin50°/cos10°
= (1/4) × sin40°× cos40°/cos10°
= (1/8) × sin80°/cos10°
= (1/8) × sin80°/sin80°
= 1/8

sin10°或cos10°都是无法用带根号或是分式的形式表示的,也就是说没有其他的实函数表示形式.虽然有复数形式的表示,实际也是没有用的,因为那个式子不能用于计算,最后还是要化为三角函数的形式.证明有点麻烦,那要求你平时对三次方程很有研究才行.
下面我简单的说一下:
对于sin3θ=3sinθ-4sin³θ
令θ=10°,那么得到方程:
4sin³θ-3sinθ+1/2=0,化为标准形式:
sin³θ-3/4sinθ+1/8=0
此方程的判别式Δ=(-3/4)³/27+(1/8)²/4=-3/256这说明原方程有三个根,并且这三个根只能用三角函数或是双曲函数表示,虽然也可以表示成复数的形式:(³√(-4+4√3i)+³√(-4-4√3i))/4
按照复数的定义展开实际上是三个数,但是要注意,上面那个数虽然是实数,但是很不好计算(要用到复数的幂级数展开),所以一般还是表示成简单的实数形式,三个根为-cos20°,cos40°,sin10°
同样的cos10°也不能用其他的实函数形式表示,由倍角公式可以推出2倍角,4倍角都不能用其他的实函数表示.
所以说以上列出的都是最简单的实函数形式,不能再用其他的实函数表示了.