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用数学归纳法证明不等式：1n+1n+1+1n+2+…+1n2＞1（n∈N*且n＞1）．

分类: 作业答案 • 2021-12-18 16:18:37
问题描述：

用数学归纳法证明不等式：

1
n
+
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
n2
＞1（n∈N*且n＞1）．

答

证明：（1）当n=2时，左边=

1
2
+
1
3
+
1
4
＝
13
12
＞1，∴n=2时成立（2分）
（2）假设当n=k（k≥2）时成立，即
1
k
+
1
k+1
+
1
k+2
+…+
1
k2
＞1
那么当n=k+1时，左边=
1
k+1
+
1
k+2
+
1
k+3
+…+
1
(k+1)2

=
1
k
+
1
k+1
+
1
k+2
+
1
k+3
+…+
1
k2+2k
+
1
(k+1)2
−
1
k

＞1+
1
k2+1
+
1
k2+2
+…+
1
(k+1)2
−
1
k

＞1+(2k+1)•
1
(k+1)2
−
1
k
＞1+
k2−k−1
k2+2k+1
＞1
∴n=k+1时也成立（7分）
根据（1）（2）可得不等式对所有的n＞1都成立（8分）
答案解析：直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证n=2时不等式成立；（2）假设当n=k（k≥2）时成立，利用放缩法证明n=k+1时，不等式也成立．
考试点：用数学归纳法证明不等式．

知识点：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意不等式的证明方法，放缩法的应用，考查逻辑推理能力．

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