证明不等式：(1/n)^n+(2/n)^n+(3/n)^n+.+(n/n)^n

问题描述：

答

因e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+e^-1+1=1-e^-n/1-e^-1＜1/1-e^-1=e/(e-1),用到了等比数列求和

只需证明：：(1/n)^n+(2/n)^n+(3/n)^n+......+(n/n)^n＜e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+e^-1+1

即(n-i/n)^n＜e^-i,i=1,2……n-1,即(1-i/n)＜e^(-i/n),i=1,2……n-1①

对于任意x∈R，都有e^x-x≥1，即1+x≤e^x．(f（x）=e^x-x,f′（x）=e^x-1

令f'（x）＞0，解得x＞0；令f′（x）＜0，解得x＜0．从而f（x）在（-∞，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增．
所以，当x=0时，f（x）取得最小值1)

当x=-i/n时，①成立，故原不等式成立。

答

先证明对于任意x≠0,1+xf(0)=1>0,即1+x