f(x)=px-q/x-2lnx,f(x)=qe-p/e-2,(e为自然对数的底数)(1)求p与q的关系(2)若f(x)在其定义域内为单调函数,求p范围(3)设g(x)=2e/x ,若在[1,e]上至少存在一点X0,使f(X0)>g(X0)成立 ,求p范围

问题描述:

f(x)=px-q/x-2lnx,f(x)=qe-p/e-2,(e为自然对数的底数)
(1)求p与q的关系
(2)若f(x)在其定义域内为单调函数,求p范围
(3)设g(x)=2e/x ,若在[1,e]上至少存在一点X0,使f(X0)>g(X0)成立 ,求p范围

(1) 由题意得 f (e) = pe-e(q)-2ln e = qe-e(p)-2
Þ (p-q) (e + e(1)) = 0
而 e + e(1)≠0 ∴ p = q
(2) 由 (1) 知 f (x) = px-x(p)-2ln x
f’(x) = p + x 2(p)-x(2)= x 2(px 2-2x + p)
要使 f (x) 在其定义域 (0,+¥) 内为单调增函数,只需 f’(x) 在 (0,+¥) 内满足:
f’(x)≥0恒成立.
由 f’(x)≥0 Û p (1 + x 2(1))-x(2)≥0 Û p≥x(1) Û p≥(x(1))max,x > 0
∵ x(1)≤ x(1)= 1,且 x = 1 时等号成立,故 (x(1))max = 1
∴ p≥1
(3) ∵ g(x) = x(2e)在 [1,e] 上是减函数
∴ x = e 时,g(x)min = 2,x = 1 时,g(x)max = 2e即 g(x) Î [2,2e]
①0 ∴ f (x) = p (x-x(1))-2ln x≤x-x(1)-2ln x
当 p = 1 时,f (x)= x-x(1)-2ln x在 [1,e] 递增
∴ f (x)≤x-x(1)-2ln x≤e-e(1)-2ln e = e-e(1)-2 ② p≥1 时,由 (2) 知 f (x) 在 [1,e] 连续递增,f (1) = 0 ∴ 本命题 Û f (x)max > g(x)min = 2,x Î [1,e]
Þ f (x)max = f (e) = p (e-e(1))-2ln e > 2 Þ p > e 2-1(4e)
综上,p 的取值范围是 (e 2-1(4e),+¥)

(1)令x=e 所以p=q
(2)f(x)=p(x^2-1)/x -2lnx 2lnx为减 所以要保证函数为单调所以前面的函数要也要为减 .所以01,p