如图所示,已知P是正三角形内的一点,它到△ABC的三边AB,BC,AC的距离分别为h1,h2,h3,△ABC的高AM=h,则h1,h2,h3与h有何数量关系?写出你的猜想并加以说明.
问题描述：
如图所示,已知P是正三角形内的一点,它到△ABC的三边AB,BC,AC的距离分别为h1,h2,h3,△ABC的高AM=h,则h1,h2,h3与h有何数量关系?写出你的猜想并加以说明.
答
h=h1 +h2 +h3
连接AP, BP, CP
S三角形ABC= S三角形APB +S三角形BPC +S三角形CPA
=1/2 (AB*h1+BC*h2+CA*h3)
而△ABC是正三角形，所以AB=BC=CA
所以，S三角形ABC =1/2*BC（h1+h2+h3)
而S三角形ABC=1/2*BC*h ,所以 h=h1 +h2 +h3
答
证明：连结AP、BP、CP,设等边△ABC的边长为a,
所以S△ABC=BC*AM/2=ah/2.
又因为S△ABC=S△APB+S△APC+S△BPC,
S△APB==ah1/2,
同理S△APC=ah2/2,
S△BPC=ah3/2,
所以S△ABP=ah1/2+ah2/2+ah3/2,
所以有ah=ah1+ah2+ah3,
所以h=h1+h2+h3.