1*2*3*4*5*……499*500积的末尾共有几个连续的零

问题描述:

1*2*3*4*5*……499*500积的末尾共有几个连续的零

出现0是因为有5的存在,一个5个一个2就可以成一个0,1个25和2个2(4)就可以有2个0,一个125和3个2(8)就有3个0
由于2的数量非常多,则只需要数5,25,和125
有因数5的个数是:500/5=100
有因数25的个数是:500/25=20
有因数125的个数是:500/125=4
100+20+4=124个

从1到10,连续10个整数相乘:
1×2×3×4×5×6×7×8×9×10。
连乘积的末尾有几个0?
答案是两个0。其中,从因数10得到1个0,从因数2和5相乘又得到1个0,共计两个。
刚好两个0?会不会再多几个呢?
如果不相信,可以把乘积计算出来,结果得到
原式=3628800。你看,乘积的末尾刚好两个0,想多1个也没有。
那么,如果扩大规模,拉长队伍呢?譬如说,从1乘到20:
1×2×3×4×…×19×20。这时乘积的末尾共有几个0呢?
现在答案变成4个0。其中,从因数10得到1个0,从20得到1个0,从5和2相乘得到1个0,从15和4相乘又得到1个0,共计4个0。
刚好4个0?会不会再多几个?
请放心,多不了。要想在乘积末尾得到一个0,就要有一个质因数5和一个质因数2配对相乘。在乘积的质因数里,2多、5少。有一个质因数5,乘积末尾才有一个0。从1乘到20,只有5、10、15、20里面各有一个质因数5,乘积末尾只可能有4个0,再也多不出来了。
把规模再扩大一点,从1乘到30:
1×2×3×4×…×29×30。现在乘积的末尾共有几个0?
很明显,至少有6个0。
你看,从1到30,这里面的5、10、15、20、25和30都是5的倍数。从它们每个数可以得到1个0;它们共有6个数,可以得到6个0。
刚好6个0?会不会再多一些呢?
能多不能多,全看质因数5的个数。25是5的平方,含有两个质因数5,这里多出1个5来。从1乘到30,虽然30个因数中只有6个是5的倍数,但是却含有7个质因数5。所以乘积的末尾共有7个0。
乘到30的会做了,无论多大范围的也就会做了。
例如,这次乘多一些,从1乘到500:
1×2×3×4×…×99×500。现在的乘积末尾共有多少个0?
答案是124个。
有因数5的个数是:500/5=100
有因数25的个数是:500/25=20
有因数125的个数是:500/125=4
所以一共有:100+20+4=124个

每个结尾为1-9的数字会有1个零,这样的数字有50个,共有50个零;
每个结尾为0的数字会有1个零,这样的数字有45个,共有45个零;
每个结尾为00的数字会有2个零,这样的数字有5个,共有10个零;
所以共有105个零