基本不等式的题设a,b∈R,且a+b=3,则2的a次方+2的b次方的最小值是?
问题描述：
基本不等式的题
设a,b∈R,且a+b=3,则2的a次方+2的b次方的最小值是?
答
4倍的根号2
答
由基本不等式x+y>=2根号(xy)(x>=0,y>=0)
2^a=x,2^b=y,则
2^a+2^b>=2根号[(2^a)(2^b)]=2根号[2^(a+b)]=4根号2
当且仅当2^a=2^b即a=b=3/2时,取等号,得最小值.
答
由题设a+b=3及基本不等式可知,(2^a)+(2^b)≥2√[2^a)(2^b)]=2√[2^(a+b)]=2×2^(3/2)=2^(5/2)=4√2.===>(2^a)+(2^b)≥4√2.等号仅当a=b=3/2时取得.===>[(2^a)+(2^b)]min=4√2.