在正方体ABCD-A1B1C1D1中 (1)求证:AC⊥BD1 (2)求异面直线AC与BC1所成角的大小.

问题描述:

在正方体ABCD-A1B1C1D1

(1)求证:AC⊥BD1
(2)求异面直线AC与BC1所成角的大小.

(1)∵正方体ABCD-A1B1C1D1中,DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
∴AC⊥DD1
∵正方形ABCD中,AC⊥BD,DD1∩BD=D,
∴AC⊥平面BDD1
∵BD1⊂平面BDD1,∴AC⊥BD1
(2)连结AD1、CD1
∵正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB

.
C1D1
∴四边形ABC1D1是平行四边形,得BC1∥AD1
由此可得∠D1AC(或补角)就是异面直线AC与BC1所成角.
∵△AD1C是等边三角形,
∴∠D1AC=60°,即异面直线AC与BC1所成角的大小为60°.