如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,点E为CD的中点,点F在底边BC上,且∠FAE=∠DAE. (1)请你通过观察、测量、猜想,得出∠AEF的度数; (2)若梯形ABCD中,AD∥BC,∠C不是直角,点F在底

问题描述:

如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,点E为CD的中点,点F在底边BC上,且∠FAE=∠DAE.

(1)请你通过观察、测量、猜想,得出∠AEF的度数;
(2)若梯形ABCD中,AD∥BC,∠C不是直角,点F在底边BC或其延长线上,如图2、图3,其他条件不变,你在(1)中得出的结论是否仍然成立,若都成立,请在图2、图3中选择其中一图进行证明;若不都成立,请说明理由.

(1)∠AEF的度数是90°.
(2)都成立.以图2为例证明.
证明:如图①,延长AE交BC的延长线于点G,
∵AD∥BC,
∴∠D=∠ECG,∠DAE=∠G,
∵E为DC的中点,
∴DE=EC,
∴△ADE≌△GCE(AAS),
∴AE=GE,
∵∠FAE=∠DAE,
∴∠FAE=∠G,
∴FA=FG,
∴EF⊥AE.
∴∠AEF=90°.