用数列极限定义证明0.9999999·················的极限是1.有谁会?用定以证明
问题描述：
用数列极限定义证明0.9999999·················的极限是1.有谁会?用定以证明
答
0.99999999.
=9×(1/10 + 1/100 + ... + 1/10^n + ...)
=9× lim(n→∞) Σ 1/10^n
=9× lim(n→∞) [(1/10)(1-1/10^n)/(1-1/10)]
=9× lim(n→∞) [(1-1/10^n)/9]
=lim(n→∞) [1-1/10^n]
记 数列 Xn= 1-1/10^n
则：0.9999. = lim(n→∞) Xn
对于任意ε>0, 取N= lg(1/ε)
则对于 n>N的一切 Xn=1-1/10^n
均有：
\x09|Xn-1| = 1/10^n 所以数列Xn的极限为1
即
\x090.99999999. = lim(n→∞) Xn = 1