向量的内积 ,正交向量组

思路：利用正交性,将问题转化为：
1.求解一个齐次线性方程组的基础解系；
2.然后再将该基础解系与α1一起构成向量组；
3.最后再正交化.
设x = (x1,x2,x3)与 α1 正交,
则,x1 + 2x2 + 3x3 = 0
解得基础解系为(-2,1,0),(-3,0,1)
将(1,2,3) ,(-2,1,0)、(-3,0,1)正交化得:
α1 = (1,2,3)
α1 = (-2,l,0)
α3 = (-3,-6,5)
这一向量组即为所求的正交向量组.至于你追问的基础解系：分别令 x2 和 x3 ＝0，求出另外两个的分量的关系就可以了：比如当x2 = 0时，得到 ( - 3, 0,1)------实际上凡是乘不为0的任何系数，都是基础解系当x3 = 0时，得到 ( - 2, 1,0)补充1：正交化方法----施密特方法:Schmidt正交化方法是将一组线性无关的向量α1，α2，……，αk，作如下的线性变换，化为一组与之等价的正交向量组： β1， β2，……，βk，的方法：β1 ＝ α1β2 ＝ α2 - [β1，α2] / [β1，β1] β1*----其中[ ]表示点积，就是对应先乘再求和β3 ＝ α3 - [β1，α3] / [β1，β1] β1 - [β2，α3] / [β2，β2] β2 ……βk ＝ αk - [β1，αk] / [β1，β1] β1 - [β2，αk] / [β2，β2] β2 .............- [β(k-1)，αk] / [β(k-1)，β(k-1)] β(k-1)对于此题目，要正交化下面三个：α1 = (1，2，3) α2 = (-2，1，0)α3 = (-3，0，1)β1 = α1 ＝(1，2，3)β2 = (-2，1，0)-[1*(-2) + 2*1 +3*0] / [(-2)^2 + 1^2 +0^2] *(1，2，3)= (-2，1，0) - 0 *(1，2，3)= (-2，1，0)β3 = α3 - [β1，α3] / [β1，β1] β1 - [β2，α3] / [β2，β2] β2= (-3，0，1) - [-3 + 0 + 3] /[1^2 + 2^2 + 3^2] *(1，2，3) - [ 6 + 0 + 0] /[(-2)^2 + 1^2 + 0^2] *(-2，1，0)= (-3，0，1) - 6/5 *(-2，1，0)= (-3/5，-6/5，1) 我前面用β3 =(-3，-6，5)表示了，你继续整理一下，写成竖方向的----列向量形式，容易些