柱坐标系三维拉普拉斯方程中,如果r=0,方程的形式是什么样的?

我算了一个多小时,终于算出来了,写在后边.
这个方程是个微分方程,空间任何一点都必须满足这个方程,即使是r = 0,写成方程后也像下边这样.



不知道为什么,图片上传不上来了.我把证明过程放在附件的压缩包里边了.
哦，之前算的时候没注意。只要r不等于0，即便它趋于0，那个式子还是恒成立的。在构造方程的时候，你完全可以方程两边同时乘以r^2。对于一个好的原函数来说，（比如二阶微分连续，）乘上一个r^2完全不改变r = 0处的（如二阶）微分连续性。这个时候就不存在问题了。何况假定了原函数二阶微分连续后，自然将来可以用极限定义微分方程在r = 0处的问题。总的来说，这对你将来解方程不会产生任何影响。当然，有一种情况，就是你的边界条件如果有超过零维的一个边界落在r = 0上了，这样整个方程就没办法正常构造了。但是换句话说，证明这个时候你的问题是不是根本没有柱坐标对称性？也有一种情况，比如r = 0处可能有个源，所以这个时候那里就会产生一个一维的坏边界条件。但是这个时候，你解方程最后完全可以用极限的方式用上这个边界条件。总之我想来想去，大概就这几种情况了吧。他把它近似成直角坐标系了，这个时候x轴和y轴都是r。所以r的二阶导有两倍。它这个式子还写错了，z旁边的二阶导位置标错了。