若三次多项式f(x)除以x^2-1所得余数为2x+1,除以x^2-4的余数为6x-1,试求此三次多项式f(x).
问题描述：
若三次多项式f(x)除以x^2-1所得余数为2x+1,除以x^2-4的余数为6x-1,试求此三次多项式f(x).
用余式定理计算
答
余式定理：当一个多项式 f(x) 除以 x – a 时,所得的 余数等于 f(a).
当f（a）=0时候,则f（x）能被 x-a 整除.
设x的三次多项式f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
设g(x)=f(x)-(2x+1),由题意,g(x)整除x^2-1=（x-1）*（x+1）
所以g(1)=0,g(-1)=0
设h(x)=f(x)-(6x-1),同理,h(2)=0,h(-2)=0
联立4式,得
a+b+c+d-3=0
b-a+d-c+1=0
8a+4b+2c+d-11=0
4b-8a-2c+d+13=0
所以a=4/3,b=-2/3,c=2/3,d=5/3
希望对你有所帮助