线性代数的问题,设矩阵A的特征多项式为f(λ),则f(A)=0

问题描述:

线性代数的问题,设矩阵A的特征多项式为f(λ),则f(A)=0
这个定理这么证明为什么不对?
f(λ)=|A-λE|
所以f(A)=|A-AE|=0

f(A)=0的式子两边代表的都是矩阵,0是零矩阵,不是实数0.
f(x)中的x取值是实数,f(A)是借用多项式表示的一个矩阵,称之为矩阵多项式,做法是把多项式f(x)的x的幂次都换成A的幂次,其中的常数项a0写成a0E.
直接用|A-AE|是错的,它的结果是个数,不是矩阵.f(A)使用的是f(λ)的最终结果,而不是中间结果