已知函数f(x)=log3mx2+8x+nx2+1的定义域为R,值域为[0,2],求m.n的值.

问题描述:

已知函数f(x)=log3

mx2+8x+n
x2+1
的定义域为R,值域为[0,2],求m.n的值.

由于f(x)=log3

mx2+8x+n
x2+1
的定义域为R,∵x2+1>0,故mx2+8x+n>0恒成立.
令y=
mx2+8x+n
x2+1
,由于函数f(x)的值域为[0,2],则 1≤y≤9,且(y-m)•x2-8x+y-n=0 成立.
由于x∈R,①若y-m≠0,∴方程的判别式△=64-4(y-m)(y-n)≥0,即 y2-(m+n)y+mn-16≤0.
∴y=1和y=9是方程 y2-(m+n)y+mn-16=0的两个根,
∴m+n=10,mn-16=9,解得m=n=5.
②若y-m=0,即y=m=n=5 时,对应的x=0,符合条件.
综上可得,m=n=5.