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定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=log12(x+1)，x∈[0，1)1−|x−3|，x∈[1，+∞)，则方程f（x）=12的所有解之和为______．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 15:17:33

问题描述：

定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=

log

1

2

(x+1)

，x∈[0，1)

1−|x−3|

，x∈[1，+∞)

，则方程f（x）=

1

2

的所有解之和为______．

答

由题意可得当x＜0时，函数的解析式是
f（x）=

log2(1−x)，x∈(−1，0)

|x+3|−1，x＜−1

，
故函数f（x）在x∈R上的图象如图所示，
方程f（x）=

1

2

共有五个实根，最左边两根之和为-6，
最右边两根之和为6，中间的一个根满足log₂（1-x）=

1

2

，
即x=1-

2

，故所有根的和为1-

2

．
故答案为：1-

2

．
答案解析：根据奇函数f（x）在x≥0时时的解析式，求出x＜0时函数的解析式，结合图象及其对称性得，左边两根之和为-6，最右边两根之和为6，中间的一个根1-

2

，从而得到答案．
考试点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．
知识点：本题考查分段函数的意义，求函数解析式，利用函数图象的性质，体现数形结合的数学思想．