已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分线MN分别交BC,AB于点M,N,求证:CM=2BM.

问题描述:

已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分线MN分别交BC,AB于点M,N,求证:CM=2BM.

证法1:如答图所示,连接AM,
∵∠BAC=120°,AB=AC,
∴∠B=∠C=30°,
∵MN是AB的垂直平分线,
∴BM=AM,∴∠BAM=∠B=30°,
∴∠MAC=90°,
∴CM=2AM,
∴CM=2BM.
证法二:如答图所示,过A
作AD∥MN交BC于点D.
∵MN是AB的垂直平分线,
∴N是AB的中点.
∵AD∥MN,
∴M是BD的中点,即BM=MD.
∵AC=AB,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°,
∵∠BAD=∠BNM=90°,
∴AD=

1
2
BD=BM=MD,
又∵∠CAD=∠BAC-∠BAD=120°-90°=30°,
∴∠CAD=∠C,
∴AD=DC,BM=MD=DC,
∴CM=2BM.