已知函数f(x)=x3-3x. (1)求函数f(x)在[-3,3/2]上的最大值和最小值; (2)过点P(2,-6)作曲线y=f(x)的切线,求此切线的方程.

问题描述:

已知函数f(x)=x3-3x.
(1)求函数f(x)在[-3,

3
2
]上的最大值和最小值;
(2)过点P(2,-6)作曲线y=f(x)的切线,求此切线的方程.

(1)f′(x)=3(x+1)(x-1),
当x∈[-3,-1)或x∈(1,

3
2
]时,f′(x)>0,
∴[-3,-1],[1,
3
2
]为函数f(x)的单调增区间,
当x∈(-1,1)为函数f(x)的单调减区间,
又∵f(-3)=-18,f(-1)=2,f(1)=-2,f(
3
2
)=-
9
8

所以当x=-3时,f(x)min=-18,
当x=-1时,f(x)max=2.
(2)由于点P不在曲线上,故设切点为(x0,y0)则切线方程为:y-y0=3(x02-1)(x-x0)①,
又点P(2,-6)在此切线上,以及y0=x03-3x0代入①,解得:x0=0或3,
故此直线的斜率为3或24,
故可求得切线的方程为y=3x或y=24x-54.