记fn(x,y)=(x+y)n−(xn+yn),其中x,y为正实数,n∈N+.给定正实数a,b满足a=bb−1.用数学归纳法证明:对于任意正整数n,fn(a,b)≥fn(2,2).
问题描述:
记fn(x,y)=(x+y)n−(xn+yn),其中x,y为正实数,n∈N+.给定正实数a,b满足a=
.用数学归纳法证明:对于任意正整数n,fn(a,b)≥fn(2,2). b b−1
答
证明:欲证不等式为(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1
(1)当n=1时,不等式左边=0,右边=0,不等式成立;
(2)假设n=k时,不等式成立,即(a+b)k-ak-bk≥22k-2k+1
由正实数a,b满足a=
,可得a+b=abb b−1
∵a>0,b>0,∴a+b≥2
,∴ab≥4,a+b=ab≥4,∴akb+abk≥2
ab
=2k+2
(ab)k+1
则n=k+1时,不等式左边=(a+b)k+1-ak+1-bk+1=(a+b)[(a+b)k-ak-bk]+akb+abk
≥4(22k-2k+1)+2k+2=22k+2-2k+2
即n=k+1时成立
由(1)(2)可知,正实数a,b满足a=
,为(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1.b b−1
答案解析:欲证不等式为(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1,利用数学归纳法证明,第2步,先证明akb+abk≥2
=2k+2,再利用归纳假设,即可证得结论.
(ab)k+1
考试点:数学归纳法.
知识点:本题考查数学归纳法,考查学生分析解决问题的能力,证题的关键是第2步,应使用归纳假设.