记fn(x,y)=(x+y)n−(xn+yn),其中x,y为正实数,n∈N+.给定正实数a,b满足a=b/b−1.用数学归纳法证明:对于任意正整数n,fn(a,b)≥fn(2,2).

问题描述:

fn(x,y)=(x+y)n−(xn+yn),其中x,y为正实数,n∈N+.给定正实数a,b满足a=

b
b−1
.用数学归纳法证明:对于任意正整数n,fn(a,b)≥fn(2,2).

证明:欲证不等式为(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1
(1)当n=1时,不等式左边=0,右边=0,不等式成立;
(2)假设n=k时,不等式成立,即(a+b)k-ak-bk≥22k-2k+1
由正实数a,b满足a=

b
b−1
,可得a+b=ab
∵a>0,b>0,∴a+b≥2
ab
,∴ab≥4,a+b=ab≥4,∴akb+abk≥2
(ab)k+1
2k+2

则n=k+1时,不等式左边=(a+b)k+1-ak+1-bk+1=(a+b)[(a+b)k-ak-bk]+akb+abk
≥4(22k-2k+1)+2k+2=22k+2-2k+2
即n=k+1时成立
由(1)(2)可知,正实数a,b满足a=
b
b−1
,为(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1