记fn(x，y)＝(x+y)n−(xn+yn)，其中x，y为正实数，n∈N+．给定正实数a，b满足a＝b/b−1．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，fn（a，b）≥fn（2，2）．
问题描述：
记fn(x，y)＝(x+y)n−(xn+yn)，其中x，y为正实数，n∈N+．给定正实数a，b满足a＝
．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，fn（a，b）≥fn（2，2）． b b−1
答
证明：欲证不等式为（a+b）n-an-bn≥22n-2n+1
（1）当n=1时，不等式左边=0，右边=0，不等式成立；
（2）假设n=k时，不等式成立，即（a+b）k-ak-bk≥22k-2k+1
由正实数a，b满足a＝
，可得a+b=abb b−1
∵a＞0，b＞0，∴a+b≥2
，∴ab≥4，a+b=ab≥4，∴akb+abk≥2
ab
＝2k+2
(ab)k+1
则n=k+1时，不等式左边=（a+b）k+1-ak+1-bk+1=（a+b）[（a+b）k-ak-bk]+akb+abk
≥4（22k-2k+1）+2k+2=22k+2-2k+2
即n=k+1时成立
由（1）（2）可知，正实数a，b满足a＝
，为（a+b）n-an-bn≥22n-2n+1．b b−1