证明:函数y = f (x)与a-x = f (a-y)的图像关于直线x +y = a成轴对称.

问题描述:

证明:函数y = f (x)与a-x = f (a-y)的图像关于直线x +y = a成轴对称.

此题按照以下类似的证明去做!
证明:函数y = f (x)与x-a = f (y + a)的图像关于直线x-y = a成轴对称
证明:
设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点,则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线x-y = a的轴对称点为P‘(x1, y1),则x1 = a + y0 , y1 = x0-a ,∴x0 = a + y1 , y0= x1-a 代入y0 = f (x0)之中得x1-a = f (a + y1) ∴点P‘(x1, y1)在函数x-a = f (y + a)的图像上。
同理可证:函数x-a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x-y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上
函数y = f (x)与x-a = f (y + a)的图像关于直线x-y = a成轴对称

证明:
对于函数y = f (x)图像上任意一点(x,y)
其关于直线x +y = a的对称点为(a-y,a-x)
而a-x = f (a-y)
即:
点(a-y,a-x)在f (a-y)的图像上。
也就是说:
对于y = f (x)图像上任意一点,在a-x = f (a-y)的图像上都有确定的点与之对应且关于直线x +y = a对称!
故证!

设 点P(Xo,Yo) 是函数f(x)上的点,
那么点P关于直线 x+y=a 的对称点Q的坐标设为 (X,Y )
我们来验证一下 该点Q的轨迹方程是什么.
连接 P,Q 两点 ,交 直线 x+y=a 与 O 点(X3,Y3)
那么 Xo+X = 2*X3,
Yo+Y = 2*Y3
解得 X3,Y3 的代数式 代入 x+y=a (因为O点在直线上)
Xo + Yo + X + Y =2a .式一
又因为 直线PQ 垂直于 直线 x+y=a
所以 直线PQ 的斜率 = 1
即 Yo-Y = Xo-X .式子二
解式子一 与式子二 组成的关于Xo,Yo的方程组
容易 得到 Xo=a-Y,Yo=a-X
而 Yo=F(Xo)
所以 a-X=F(a-Y) ,这就是Q点的轨迹方程,满足 题中的条件
综上 函数y = f (x)与a-x = f (a-y)的图像关于直线x +y = a成轴对称