一个直角三角形的边长都是整数,它的面积和周长的数值相等.试确定这个直角三角形三边的长.
问题描述:
一个直角三角形的边长都是整数,它的面积和周长的数值相等.试确定这个直角三角形三边的长.
答
假设符合条件的直角三角形存在,它的三边长为a、b、c,其中c为斜边,则
a2+b2=c2,a+b+c=
,ab 2
∵a、b、c均为正整数,
∴a≠b;不妨设a>b,则有a+b+
=
a2+b2
,ab 2
两边平方,并整理得,
-a2b-ab2+2ab=0,
a2b2
4
消去ab,得
-a-b+2=0,即(a-4)(b-4)=8,ab 4
又∵8=1×8=2×4,
∴①a-4=8,b-4=1,解得:a=12,b=5,则c=13;
②a-4=4,b-4=2,解得:a=8,b=6,则c=10;
综上所述,符合条件的直角三角形的边长分别是5、12、13;6、8、10.