非常基本的线性代数证明题1.设a1,a2,...,an是一组n维向量,已知n维单位坐标向量e1,e2,...,en能由它们线性表示,证明a1,a2,...,an线性无关.2.设a1,a2,...an是一组n维向量,证明它们线性无关的充要条件是任一n维向量都可由他们线性表示.3.设向量组B:b1,b2,...,br能由向量组A:a1,a2,...,as线性表示为:B=AK,其中K为s x r矩阵,且A组线性无关.证明B组线性无关的充要条件是R(K)=r.书上基本没有证明题..所以我看起来不知怎么下手,给下清晰思路就可以了喔...
问题描述：
非常基本的线性代数证明题
1.设a1,a2,...,an是一组n维向量,已知n维单位坐标向量e1,e2,...,en能由它们线性表示,证明a1,a2,...,an线性无关.
2.设a1,a2,...an是一组n维向量,证明它们线性无关的充要条件是任一n维向量都可由他们线性表示.
3.设向量组B:b1,b2,...,br能由向量组A:a1,a2,...,as线性表示为:B=AK,其中K为s x r矩阵,且A组线性无关.证明B组线性无关的充要条件是R(K)=r.
书上基本没有证明题..所以我看起来不知怎么下手,给下清晰思路就可以了喔...
答
1.考虑向量组A={a1,a2,...,an}的秩：它由n个向量组成,所以R(A)=n.综合可知R(A)=n.A由n个向量组成,且秩为n,所以这n个向量线性无关.
2.假设它们线性无关,则向量组A={a1,a2,...an}的秩为n,所以是R^n的一组基（因为R^n的维数也是n）,所以任一n维向量都可由它们线性表示.
假设任一n维向量都可由它们线性表示,则特别地,n维单位坐标向量{e1,e2,...,en}可由它们线性表示,再由1即知它们线性无关.
3.假设R(K)