已知函数f(x)在R上是增函数,g(x)在R上是减函数.求证:函数F(x)=f(x)-g(x)在R上是增函数.

问题描述:

已知函数f(x)在R上是增函数,g(x)在R上是减函数.求证:函数F(x)=f(x)-g(x)在R上是增函数.

任取x1,x2∈R,且x1<x2
则由于f(x)在R上是增函数,g(x)在R上是减函数,
有f(x1)<f(x2),g(x1)>g(x2),
∴F(x1)-F(x2)=[f(x1)-g(x1)]-[f(x2)-g(x2)]
=[f(x1)-f(x2)]-[g(x1)-g(x2)]
<0,
∴F(x1)<F(x2
∴函数F(x)在R上是增函数.