已知数列{log2（an-1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）证明1/a2−a1+1/a3−a2+…+1/an+1−an＜1．
问题描述：
已知数列{log2（an-1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明
+1
a2−a1
+…+1
a3−a2
＜1． 1
an+1−an
答
（I）设等差数列{log2（an-1）}的公差为d．
由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28，即d=1．
所以log2（an-1）=1+（n-1）×1=n，即an=2n+1．
（II）证明：因为
=1
an+1−an
=1
2n+1−2n
，1 2n
所以
+1
a2−a1
+…+1
a3−a2
=1
an+1−an
+1 21
+1 22
+…+1 23
=1 2n
=1-
−1 2
×1 2n
1 2 1−
1 2
＜1，1 2n
即得证．