(2009•新洲区模拟)已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0),与y轴负半轴交于C,顶点为D. (1)当OC=OB时,求抛物线的解析式; (2)在(1)的条件下,抛物线的对称轴上是否

问题描述:

(2009•新洲区模拟)已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0),与y轴负半轴交于C,顶点为D.

(1)当OC=OB时,求抛物线的解析式;
(2)在(1)的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点P,使△ACP绕点P逆时针旋转90°后,点C恰好落在抛物线上若存在,求旋转后△ACP三个顶点的坐标;
(3)若抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点C在y轴负半轴上移动,则△ACD与△ACB面积之比

S△ACD
S△ACB
是否为一定值?若是定值,请求出其值;若不是定值,请说明理由.

(1)由题意知:OB=3,因此OC=OB=3,即C(0,-3)
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),已知抛物线过C点,则有:
a(0+1)(0-3)=-3,a=1,
∴抛物线的解析式为:y=x2-2x-3.
(2)A、C、P对应点的坐标为(-2,-5)(1,-4)(1,-3),
或(-1,-4),(2,-3),(1,-2).
(3)y=ax2-2ax-3a(a>0),
∴A(-1,0),B(3,0),C(0,-3a),D(1,-4a),
∴S△ACB=

1
2
×4×3a=6a,
∴S△ACD=
1
2
×1×3a+
1
2
(3a+4a)×1-
1
2
×2×4a=a,
S△ACD
S△ACB
a
6a
1
6