平面上有两点A(-1,0),B(1,0),点P在圆周（x-3)^2+(y-4)^2=4上,求使AP^2+BP^2最小值时点P的坐标已经知道作法和正确答案但是想问一下,问什么AP^2+BP^2=2(x^2+y^2)+2>=2xy+2,此时x=y.将x=y代回圆方程,解出x=(7+根号7)/2和(7-根号7)/2.为什么这样做和答案不一样, 错在哪里?
问题描述：
平面上有两点A(-1,0),B(1,0),点P在圆周（x-3)^2+(y-4)^2=4上,求使AP^2+BP^2最小值时点P的坐标
已经知道作法和正确答案
但是想问一下,问什么AP^2+BP^2=2(x^2+y^2)+2>=2xy+2,此时x=y.
将x=y代回圆方程,解出x=(7+根号7)/2和(7-根号7)/2.
为什么这样做和答案不一样, 错在哪里?
答
啊
答
5
答
4
答
设p坐标：(3+2cosα,4+2sinα)
(ap)^2+(bp)^2=(4+2cosα)^2+2(4+2sinα)^2+(2+2cosα)^2=60+24cosα+32sinα
=60+8/5×(3/5cosa+4/5sina)=60+8/5sin(α+β),其中β＝arctan3/4
当sin(α+β)=-1时取到最小值，即sina=-4/5,cos=-3/5
所以p坐标：(9/5,12/5...
答
设P点坐标(x,y),P在圆周上,所以P满足(x-3)²+(y-4)²=4
PA²=(x+1)²+y² PB²=(x-1)²+y²
PA²+PB²=2x²+2y²+2
把圆的方程展开x²-6x+9+y²-8y+16=4→ x²+y²+1=6x+8y-20
PA²+PB²=4(3x+4y-10)
∵3x+4y≥2√12xy=4√3xy且当3x=4y时
∴代入圆的方程得P(21/5,28/5)
答
均值不等式用之后必须得到定值，你得到2xy+2不是定值，所以得不到正确答案。