求幂级数的和函数什么时候用逐项求导,什么时候用逐项积分?
问题描述：
求幂级数的和函数什么时候用逐项求导,什么时候用逐项积分?
答
看系数的,例如系数是分式
类似
(1/n)
求和Σ(1/n)x^n
这时求导就把1/n消去了,等于只需求Σx^(n-1),然后积个分就可以了
如果系数是n的多项式
Σ(n+1)x^n
这时就积分,把n+1消去
就等于先积Σx^(n+1),得出结果再求导即可
原因是Σx^n是等比数列求和,好求
如果不是正好的话还需要乘上x的幂次
例如
Σnx^n
直接积分不好弄,那么先令Tn=Σnx^n
则令Sn=Tn/x=Σnx^(n-1)然后就可以积分,求和,再求导得到Sn,最后乘上x得到Tn不明白这段话
如果系数是n的多项式
Σ(n+1)x^n
这时就积分，把n+1消去
就等于先积Σx^(n+1),得出结果再求导即可
可不可以麻烦你再讲一下？逐项积分
=Σ
这个有问题么？
然后等比数列求和
=1/(1-x), 收敛域|x|
然后求导
=1/(1-x)^2
即为所求