已知f(x)为二次函数,不等式f(x)+2已知f(x)为二次函数,不等式f(x)+2

【解】：
f(x)+2可记f(x)+2=k(x+1)(x-1/3) ，其中k>0；有对称轴x=(-1+1/3)/2=-1/3
α、β∈R，则：-1≤sinα≤1，1≤2+cosβ≤3
f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0恒成立，
即x∈[-1,1]时，f(x)≤0；x∈[1,3]时，f(x)≥0；
则临界点x=1有：f(1)=0；
代入得：k(1+1)(1-1/3)=2，解得：k=3/2。
f（x）的解析式：f(x)=k(x+1)(x-1/3)-2=3(x+1)(x-1/3)/2 -2=(3x^2+2x-5)/2
f’(x)=(6x+2)/2=3x+1
则：3a[n+1]=1-(1/f’(a[n]))=1-1/(3a[n]+1)=3a[n]/(3a[n]+1)
得：a[n+1]=a[n]/(3a[n]+1)
得：1/a[n+1]=(3a[n]+1)/a[n]=3+1/a[n]
b[n]=1/a[n]，b[1]=1/a[1]=1；
则：b[n+1]=b[n]+3
即b[n]是以1为首项，公差为3的等差数列；
b[n]=1+3(n-1)=3n-2
S[n]=(3n^2-n)/2
b[n]奇数项为奇数，偶数项为偶数，所以Cos[b[n]π]=(-1)^n；
记c[n]=S[n]*(3n^2-n)/2=(-1)^n*(3n^2-n)/2
若n=2k，则：T[n]为c[n]的（偶数项和－奇数项和）
偶数项：c[2k]= (3(2k)^2-2k)/2=6k^2-k
奇数项：c[2k-1]= (3(2k-1)^2-2k)/2=(12k^2-14k+3)/2
运用：1^2+2^2+3^2+...+k^2=k(k+1)(2k+1)/6和1+2+3+…+k=(k+1)k/2
得：
S[c[2k]]=k(k+1)(2k+1)-(k+1)k/2=k(k+1)(4k+1)/2
S[c[2k-1]]=k(k+1)(2k+1)-7(k+1)k/2+3k/2=k(4k^2-k-2)/2
则：T[2k]= S[c[2k]]-S[c[2k-1]]=k(k+1)(4k+1)/2-k(4k^2-k-2)/2=3k(2k+1)/2
若n=2k-1
则：T[2k-1]=T[2k]-c[2k]=3k(2k+1)/2-(6k^2-k)=-k(6k-5)/2
可合并得：
T[n]=(-1)^n*(3n^2+2n-1)/4+(n+1)/4

f(x)+20)
从而f(x)=k(x+1)(3x-1)-2
令alpha=pi/2,beta=pi可知f(1)=0,于是k=1/2.
所以f(x)=3/2*x^2+x-5/2.
将3an+1=1-（1/（f‘（an）））等式右边通分后两边取倒数可得b(n+1)/3=1+bn/3
所以bn是公差为3的等差数列 于是bn=3n-2.
Sn=(3n^2-n)/2.
由于cos(bn*pi)=cos(3n*pi),于是n为奇数时,cos(3n*pi)=-1,n为偶数时,cos(3n*pi)=1.
当n为偶数时,设n=2k,则原式等于下式n从1到k求和:6k-2,所求和等于3k^2+k.
当n为奇数时只要添上(再减去)最后一项即可化为以上情况.