如图,设点M是等腰Rt△ABC的直角边AC的中点,AD⊥BM于E,AD交BC于D.求证:∠AMB=∠CMD(请用两种不同的方法证明)

问题描述:

如图,设点M是等腰Rt△ABC的直角边AC的中点,AD⊥BM于E,AD交BC于D.求证:∠AMB=∠CMD(请用两种不同的方法证明)

证明:法(1)如图,延长AD至F,使得CF⊥AC,
∵AB⊥AC,AD⊥BM,
∴∠ABM=∠DAC,
又∵AB=AC,CF⊥AC,
∴△ABM≌△CAF,
∴∠BMA=∠F,AM=CF,
∵∠BCA=∠BCF=45°,AM=CM=CF,DC=DC,
∴△FCD≌△MCD,
∴∠AMB=∠F=∠CMD;
法(2)AD交BM于E,作∠BAC的平分线交BM于N,

∵AE⊥BM,BA⊥AC,
∴∠ABN=∠CAE,
∵∠BAN=∠C=45°,AB=AC,
∴△BAN≌△ACD.
∴AN=CD,
∵∠NAM=∠C=45°,AM=MC
∴△NAM≌△DCM,
∴∠AMB=∠CMD.