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已知1/3≤a≤1，若f（x）=ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值M（a），最小值N（a），设g（a）=M（a）-N（a）．（1）求g（a）的解析式；（2）判断g（a）单调性，求g（a）的最小值．

分类: 作业答案 • 2023-01-15 12:34:22

问题描述：

已知

1

3

≤a≤1，若f（x）=ax²-2x+1在区间[1，3]上的最大值M（a），最小值N（a），设g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的解析式；
（2）判断g（a）单调性，求g（a）的最小值．

答

（1）当

1

3

≤a≤

1

2

时N（a）=f（

1

a

），M（a）=f（1），
此时g（a）=f（1）-f（

1

a

）=a+

1

a

-2；
当

1

2

＜a≤1时N（a）=f（

1

a

），M（a）=f（3），
此时g（a）=f（3）-f（

1

a

）=9a+

1

a

-6；
∴g（a）=

a+

1

a

−2

1

3

≤ a≤

1

2

9a+

1

a

−6

1

2

＜a≤1

…（6分）
（2）当

1

3

≤a≤

1

2

时，∵g（a）=a+

1

a

-2，∴g′（a）=1-

1

a2

＜0，
∴g（a）在[

1

3

，

1

2

]上单调递减．
同理可知g（a）在（

1

2

，1]上单调递增
∴g（a）_min=g（

1

2

）=

1

2

．…（12分）