已知1/3≤a≤1,若f(x)=ax2-2x+1在区间[1,3]上的最大值M(a),最小值N(a),设g(a)=M(a)-N(a). (1)求g(a)的解析式; (2)判断g(a)单调性,求g(a)的最小值.

问题描述:

已知

1
3
≤a≤1,若f(x)=ax2-2x+1在区间[1,3]上的最大值M(a),最小值N(a),设g(a)=M(a)-N(a).
(1)求g(a)的解析式;
(2)判断g(a)单调性,求g(a)的最小值.

(1)当

1
3
≤a≤
1
2
时N(a)=f(
1
a
),M(a)=f(1),
此时g(a)=f(1)-f(
1
a
)=a+
1
a
-2;
1
2
<a≤1时N(a)=f(
1
a
),M(a)=f(3),
此时g(a)=f(3)-f(
1
a
)=9a+
1
a
-6;
∴g(a)=
a+
1
a
−2        
1
3
≤ a≤
1
2
9a+
1
a
−6   
1
2
<a≤1
      …(6分)
(2)当
1
3
≤a≤
1
2
时,∵g(a)=a+
1
a
-2,∴g′(a)=1-
1
a2
<0,
∴g(a)在[
1
3
1
2
]上单调递减.
同理可知g(a)在(
1
2
,1]上单调递增
∴g(a)min=g(
1
2
)=
1
2
.…(12分)