已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-1与x=2处都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对x∈[-2，3]，不等式f（x）+3/2c
问题描述：
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-1与x=2处都取得极值．
（Ⅰ）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对x∈[-2，3]，不等式f（x）+
c<c2恒成立，求c的取值范围． 3 2
答
（Ⅰ）f′（x）=3x2+2ax+b，
由题意：
即
f′(-1)=0
f′(2)=0
3-2a+b=0 12+4a+b=0
解得
a=-
3 2 b=-6
∴f(x)=x3-
x2-6x+c，f′（x）=3x2-3x-63 2
令f′（x）<0，解得-1<x<2；
令f′（x）>0，解得x<-1或x>2，
∴f（x）的减区间为（-1，2）；增区间为（-∞，-1），（2，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（-∞，-1）上单调递增；
在（-1，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增．
∴x∈[-2，3]时，f（x）的最大值即为f（-1）与f（3）中的较大者.f(-1)=
+c；f(3)=-7 2
+c9 2
∴当x=-1时，f（x）取得最大值．
要使f(x)+
c<c2，只需c2>f(-1)+3 2
c，即：2c2>7+5c3 2
解得：c<-1或c>
．7 2
∴c的取值范围为(-∞，-1)∪(
，+∞)．7 2