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已知函数f（x）=loga1+x/1−x（其中a＞1）．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并给予证明；（Ⅲ）求使f（x）＞0的x取值范围．

分类: 作业答案 • 2023-01-15 09:21:31

问题描述：

已知函数f（x）=log_a

1+x

1−x

（其中a＞1）．
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并给予证明；
（Ⅲ）求使f（x）＞0的x取值范围．

答

（Ⅰ）由函数f（x）=log_a

1+x

1−x

（其中a＞1），可得

1+x

1−x

＞0，即

x+1

x−1

＜0，
即（x+1）（x-1）＜0，解得-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1）．
（Ⅱ）由于函数的定义域关于原点对称，且满足f（-x）=loga

1−x

1+x

=-loga

1+x

1−x

=-f（x），
故函数为奇函数．
（Ⅲ）由f（x）＞0 可得

1+x

1−x

＞1，即

2x

x−1

＜0，2x（x-1）＜0，
解得 0＜x＜1，故所求的x的取值范围为（0，1）．