如图,AB是⊙O的直径,AF是⊙O切线,CD是垂直于AB的弦,垂足为E,过点C作DA的平行线与AF相交于点F,CD=43,BE=2.求证: (1)四边形FADC是菱形; (2)FC是⊙O的切线.

问题描述:

如图,AB是⊙O的直径,AF是⊙O切线,CD是垂直于AB的弦,垂足为E,过点C作DA的平行线与AF相交于点F,CD=4

3
,BE=2.求证:

(1)四边形FADC是菱形;
(2)FC是⊙O的切线.

证明:(1)连接OC,
∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,
∴CE=DE=

1
2
CD=
1
2
×4
3
=2
3

设OC=x,
∵BE=2,
∴OE=x-2,
在Rt△OCE中,OC2=OE2+CE2
∴x2=(x-2)2+(2
3
2
解得:x=4,
∴OA=OC=4,OE=2,
∴AE=6,
在Rt△AED中,AD=
AE2+DE2
=4
3

∴AD=CD,
∵AF是⊙O切线,
∴AF⊥AB,
∵CD⊥AB,
∴AF∥CD,
∵CF∥AD,
∴四边形FADC是平行四边形,
∵AD=CD,
∴平行四边形FADC是菱形;
(2)连接OF,AC,
∵四边形FADC是菱形,
∴FA=FC,
∴∠FAC=∠FCA,
∵AO=CO
∴∠OAC=∠OCA
∴∠FAC+∠OAC=∠FCA+∠OCA
即∠OCF=∠OAF=90°
即OC⊥FC,
∵点C在⊙O上,
∴FC是⊙O的切线.